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2022年海南成人高考专升本《高等数学一》考点笔记(3)

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2022-05-13 15:54:53 来源:海南成考网
作者:杨老师
  导数应用的考点

  考点1 函数单调性的判定

  设y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

  1.若对于任意的x∈(a,b),有f'(x)>0,则y=f(x)在[a,b]上为单调增加的函数.

  2.若对于任意的x∈(a,b),有f'(x)<0,则y=f(x)在[a,b]上为单调减少的函数.

  考点2 函数取得极值的必要条件和充分条件

  1.必要条件

  设函数y=f(x)在点x₀处可导,且在点x₀处取得极值,则在点x₀处必有f'(x₀)=0或f'(x₀)不存在,即x₀必为函数f(x)的驻点或不可导点.

  反之不成立,即函数f(x)的驻点或不可导点并不一定就是极值点.

  2.第一种充分条件

  设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内可导,且f'(x₀)=0(或在点x₀处f'(x)不存

  在).若在此邻域内:

  (1)当x0,而当x>x₀时,f'(x)<0,则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀);

  (2)当x0,则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀);

  若当xx₀时,f'(x)不改变符号,则f(x)在点x₀处不取得极值.

  3.第二种充分条件

  设函数y=f(x)在点x₀处具有二阶可导,且f'(x₀)=0,f''(x₀)≠0.若

  (1)f”(x₀)<0,则f(x)在点x₀处取得极大值f(x₀).

  (2)f”(x₀)>0,则f(x)在点x₀处取得极小值f(x₀).

  (3)f”(x₀)=0,则函数f(x)在点x₀处可能取得极值,也可能不取得极值,这时需要用第一种充分条件判定.

  考点3 最大值与最小值的求法

  闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)必定存在最大值与最小值.

  求最大值与最小值的一般方法是:

  1.求出f(x)在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点.

  2.求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b处的函数值.

  3.进行比较,其中最大的数值即为f(x)在[a,b]上的最大值,而其中最小的数值即为

  f(x)在[a,b]上的最小值.

  考点4 曲线凹凸性的判定

  设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.

  1.若在(a,b)内有f”(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的.

  2.若在(a,b)内有f”(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内为凸的.

  考点5 曲线拐点的判定

  对于在(a,b)内的连续曲线弧y=f(x),判定拐点的一般方法是:

  1.求出该函数的二阶导数,并求出使二阶导数等于零的点,以及二阶导数不存在的点.

  2.判定上述各点两侧,函数的二阶导数是否异号,如果f''(x)在x₀的两侧异号,则(x₀,f(x₀))为曲线弧y=f(x)的拐点.

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